2017年高考数学知识方法专题4《三角函数与平面向量第19练 解三角形问题》

出处:老师板报网 时间:2023-02-17

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第19练 解三角形问题[题型分析·高考展望] 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面:一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等;二是以实际生活为背景,考查解三角形问题;三是与其他知识的交汇性问题,此类试题一直是命题的重点和热点.体验高考1.(2016·天津)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC等于(  )A.1B.2C.3D.4答案 A解析 由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC,即13=AC2+9-2AC×3×cos120°,化简得AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A.2.(2016·课标全国丙)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于(  )A.B.C.-D.-答案 C解析 设BC边上的高线AD交BC于点D,由题意B=,BD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA==-3,所以cosA=-.3.(2015·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为________.答案 8解析 ∵cosA=-,0<A<π,∴sinA=.S△ABC=bcsinA=bc×=3,∴bc=24.又b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,b2+c2=52.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=52-2×24×=64,∴a=8.4.(2015·广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=________.答案 1解析 因为sinB=且B∈(0,π),所以B=或B=.又C=,所以B=,A=π-B-C=.又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.5.(2016·北京)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求∠B的大小;(2)求cosA+cosC的最大值.解 (1)由a2+c2=b2+ac得a2+c2-b2=ac.由余弦定理得cosB===.又0<B<π,所以B=.(2)A+C=π-B=π-=,所以C=-A,0<A<.所以cosA+cosC=cosA+cos=cosA+coscosA+sinsinA=cosA-cosA+sinA=sinA+cosA=sin.因为0<A<,所以<A+<π,故当A+=,即A=时,cosA+cosC取得最大值1.高考必会题型题型一 活用正弦、余弦定理求解三角形问题例1 (1)(2015·广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=且b0),则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入+=中,有+=,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.所以sinAsinB=sinC.(2)解 由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cosA==.所以sinA==.由(1),知sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=cosB+sinB,故tanB==4.
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